- 等差数列教案 推荐度：
- 数学等差数列教案 推荐度：
- 相关推荐
等差数列教案
作为一名老师，总不可避免地需要编写教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。那要怎么写好教案呢？下面是小编精心整理的等差数列教案，希望能够帮助到大家。
等差数列教案1
教学目标
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）在探索和发现公式的过程中，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力，并促进知识的生成与发展。
（2）通过巧妙的思维策略，引导学生根据观察、尝试、分析和类比等实践活动，从特殊情况逐步推导出一般规律，以培养他们的类比思维能力。这样的过程能帮助学生自主发现等差数列的求和公式，并更好地理解其背后的数学原理。
（3）通过多角度、多侧面的分析公式，可以培养学生灵活思维，并提升他们分析和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
（3）通过引入生动的、具体的现实问题，探索数学史中那些引人入胜的故事，激发学生对于探究数学的兴趣和渴望，培养他们追求真理的勇气和自信心，巩固学生在学习数学过程中的积极心理经验，培养他们对数学的热爱情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：经过几节课的学习，我们已经了解了等差数列的定义、通项公式以及相关性质。今天我们将进一步研究等差数列的前n项和公式。提到数列求和，就会自然想到德国著名数学家高斯的“神速求和”故事。当时小高斯上小学四年级，一次老师布置了一个数学习题：“将1到100的自然数相加，结果是多少？”只有10岁的小高斯稍作思考就得出了答案5050，这让老师非常吃惊。那么高斯是如何巧妙计算出来的呢？如果你们能理解他那种巧妙的计算方法，那么你们就是二十一世纪的新高斯。（老师观察学生表情后，将问题缩小为十分之一）。现在我们来看一个例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？
生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
二、教授新课（尝试推导）
师：已知等差数列的第一项为a1，项数为n，最后一项为an。根据等差数列的性质，我们可以推导出它的前n项和Sn的计算公式。首先，我们知道等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，d为等差数列的公差。接下来，我们将等差数列的所有项按照相反的顺序排列，并将原数列与反向数列相加，得到一个新的等差数列，每一项都是a1+an。例如，对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，与之对应的反向数列为an, an-1, ..., a1。将两个数列按位相加，得到新的等差数列2a1+d, 2a2+d, 2a3+d, ..., 2an+d。将两个数列的每一项分别相加，得到：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2(a1+a2+a3+...+an) + nd由于等差数列的前n项和Sn表示为a1+a2+a3+...+an，所以我们可以将上述等式改写为：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2Sn + nd进一步整理得：2Sn + nd = n(2a1 + (n-1)d)化简可得：Sn = n/2 * (a1+an)因此，等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a1+an)。感谢同学们的参与，现在请一位同学来板演推导过程。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）这两个式子可以被称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以观察到它与梯形面积公式（上底下底）×高÷2相似。在这里，等差数列中的首项a1代表了梯形的上底，第n项an代表了梯形的下底，而项数n则代表了梯形的.高。通过这种类比，我们可以引导学生进行总结：这些公式中涉及了几个量？（a1，d，n，an，Sn），它们之间有哪些关系？［an=a1(n-1)d，Sn=na1d］；另外，这些量中有几个是可以自由变化的？（三个）从而可以得知：只要我们知道其中任意三个量，就可以求解出其他两个量。接下来，我们将举一些例子来说明公式（I）和（II）的一些应用。请您谢谢！
三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。
1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
（3）2+4+6+......+2n
（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。
生5：直接利用等差数列求和公式（I），得
（1）1+2+3+......+n=
（2）1+3+5+......+(2n-1)=
（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)
师：第（4）小题数列共有n项。该数列是否为等差数列需要根据给出的信息进行判断，而在题目中并没有给出具体的数列项或规律，所以无法确定它是否为等差数列。不能直接运用Sn公式求解，因为Sn公式是用来求解等差数列前n项和的公式，需要知道数列的首项、末项和项数才能使用该公式计算。如果无法确定数列是否为等差数列，可以尝试找出数列的通项公式，然后根据题目给出的条件计算出具体的数列项。如果无法找到通项公式，可以逐项计算数列的项。
生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以
原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：非常好！在解题时我们应该仔细观察，并寻找规律，通常能够找到更好的方法。此外，在运用Sn公式时需要注意确切地确定等差数列的项数，否则很可能会得出错误的答案。
例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145
师：通过以上示例题，我们学习了等差数列的前n项和公式。该公式中包含了5个变量。当已知其中三个变量时，我们可以利用构建方程或方程组的方法来求解另外两个未知变量（即已知三求二）。请同学们根据第三个例题自行编写类似的练习题，作为本课外练习的内容。在下节课时，我们将进行交流和讨论。
师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）
①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②是否一定非得求得a1，d呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求S10的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教师启发学生解）
师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？
生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
师：是的！这个问题需要应用等差数列的性质来解决。根据已知的等式，我们无法直接求出a1，a16和d的值。但是我们可以利用等差数列的性质来计算出a1与an（第16项）的和。这种思路充分展示了解决数学问题时的整体思维能力。
师：由于时间有限，我们将对等差数列前n项和公式Sn进行深入分析，并引导学生通过观察发现当d≠0时，Sn可以表示为n的二次函数。然后，我们会从二次（或一次）函数的角度来解释Sn公式的意义，指引同学们在课外继续思考这个问题。
最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=。数列{an}是否为等差数列，并说明理由。
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。
生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求解等差数列的首项a1和公差d时，我们需要仔细观察，并灵活运用等差数列的性质，尝试使用整体思维的方法来求解数列的第n项an。
师：通过以上几个例子，我们可以看到在解题过程中灵活运用所学知识和性质的重要性。同时，我们也应该纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。在学习过程中，希望大家能够成为一个有心人，积极主动地去发现更多的性质，并努力学习掌握它们。
本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业：P49：13、14、15、17
等差数列教案2
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
2、教学目标
根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标
a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点
根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。
二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
二、教法分析
针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的'指导下发现、分析和解决问题。
三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学程序
本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。
(一)复习引入：
1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。（N﹡；解析式）
通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。
2. 小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①
3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，10，15，20，25 ②
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
(二) 新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1-an=d (n≥1)
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1
2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01
3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，……；×
5. 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
等差数列教案3
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想
1、教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2、学法
引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的'通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程
教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。
这个问题该怎样解决呢？倾听课堂引入探索研究由学生观察分析并得出答案：
在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，…
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5观察分析，发表各自的意见引向课题发现规律思考：同学们观察一下上面的这两个数列：
0，5，10，15，20，…… ①
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②
看这些数列有什么共同特点呢？观察分析并得出答案：
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；
由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。
总结提高[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A
所以就有让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则深入探究，得到更一般化的结论引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。
总结提高[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这三组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：
等差数列教案4
一、设计思想
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二、教材分析
高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三、学情分析
学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。
四、教学目标
1.知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3.情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。
五、重点、难点
教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。
教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
六、教学策略和手段
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。
七、课前准备
学生预习，教师做好课件并安装好。
八、教学过程
创设情景，引入概念
设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。
师生活动：
情景1：
师—把班上学生学号从小到大排成一列：
学生：
师—这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？
学生—是，师—把上面的数列各项依次记为，填空：
学生—填空并归纳出一般规律：，( )
师—上面这个规律还有其他形式吗？
学生—或者写成，( )
注：要对强调，原因在于有意义。
师—你能用普通语言概括上面的规律吗？
学生—自由发言，选择最恰当的语言。
上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例
(1)2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
48，53，58，63
(2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)
18，15.5，13，10.5，8，5.5
(3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
本利和=本金(1+利率存期)
时间年初本金(元)年末本利和(元)第1年10000 10072第2年10000 10144第3年10000 10216第4年10000 10288第5年10000 10360例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)
各年末本利和(单位：元)
10072，10144，10216，10288，10360
师：上面的三个数列又分别有什么规律呢？
学生—(1)，(2)，(3)，师—归纳上面数列的共同特征：
(d是常数)，师—满足这种特征的'数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？
学生(共同)—等差数列。
提出课题《等差数列》
师—给出文字叙述的定义(学生叙述，板书定义)：
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。
对定义进行分析，强调：= 1 GB3 ①同一个常数；= 2 GB3 ②从第二项起。
师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？
学生—某剧场前8排的座位数分别是
52，50，48，46，44，42，40，38.
学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21，21.5，22，22.5，23，23.5，24，24.5，25
抢答：观察下列数列是否为等差数列
1，2，4，6，8，10，12，……
0，1，2，3，4，5，6，……
3，3，3，3，3，3，3……
2，4，7，11，16，……
-8，-6，-4，0，2，4，……
3，0，-3，-6，-9，……
注：常数列也是等差数列，公差是0。
推进概念，发现性质
设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。
师生活动：
师—想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？
学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。
设三个数成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A，说明：(1)上面式子反过来也成立。(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列，反之亦成立。
(三)探究通项公式
设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。
师生活动：
师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。
先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。
师—若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？
启发学生：(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。
学生—即：
即：
即：
由此可得：
师—从第几项开始归纳的？
学生—第二项，所以n≥2。
师—n=1时呢？
学生—当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
( )
师—很好！
等差数列教案5
一、教学目标
【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。
【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
二、教学重难点
【教学重点】
等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。
【教学难点】
等差数列通项公式的推导。
三、教学过程
环节一：导入新课
教师PPT展示几道题目：
1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25 2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。
在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
教师提问学生这几组数有什么特点？学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。
环节二：探索新知
1.等差数列的概念
学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的.公差，通常用字母d来表示。
问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢？
环节三：课堂练习
抢答：下列数列是否为等差数列？
（1）1，2，4，6，8，10，12，……
（2）0，1，2，3，4，5，6，……
（3）3，3，3，3，3，3，3，……
（4）-8，-6，-4，-2，0，2，4，……
（5）3,0，-3，-6，-9，……
环节四：小结作业
小结：1.等差数列的概念及数学表达式。
关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。
作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢？根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。
等差数列教案6
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。
2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。
教学难点：等差数列的性质
教学过程：
一、复习引入：（课件第一页）
二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
（课件第二页）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。
2．等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： （课件第二页） 第二通项公式 （课件第二页）
三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 , ,
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。
小结：①这就是第二通项公式的.变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3）
例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）
分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。
注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数.
四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
（4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
2.在等差数列{ }中，
（1）已知 =10, =19,求 与d;
五、课后作业：
习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 . 8. 9.
等差数列教案7
教学目标：
1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
教学重点：
等差数列的概念及通项公式。
教学难点：
(1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
(2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。
2.由生活中具体的数列实例引入
(1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：
你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗?
(2)某剧场前10排的座位数分别是：
48、46、44、42、40、38、36、34、32、30
引导学生观察：数列①、②有何规律?
引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。
二.新课探究，推导公式
1.等差数列的概念
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
强调以下几点：
① “从第二项起”满足条件;
②公差d一定是由后项减前项所得;
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );
所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。
在学生对等差数列有了直观认识的基础上，我将给出练习题，以巩固知识的学习。
[练习一]判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是?如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。
1.3，5，7，…… √ d=2
2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3
3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，……;×
5. 1，0，1，0，1，……×
在这个过程中我将采用边引导边提问的方法，以充分调动学生学习的积极性。
2.等差数列通项公式
如果等差数列{an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的.定义可得：
a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d
a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：
n=a1+(n-1)d
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3 =d
……
an –a(n-1) =d
将这(n-1)个等式左右两边分别相加，就可以得到
an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d (Ⅰ)
当n=1时，(Ⅰ)也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式(Ⅰ)都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。
三.应用举例
例1求等差数列，12，8，4，0，…的第10项;20项;第30项;
例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?
四.反馈练习
1.P293练习A组第1题和第2题(要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问)。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。
五.归纳小结提炼精华
(由学生总结这节课的收获)
1.等差数列的概念及数学表达式.
强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一
六.课后作业运用巩固
必做题：课本P284习题A组第3，4，5题
等差数列教案8
教学目标
1、通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
2、利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；
3、通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣。
教学重点，难点
教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑。
教学方法
研探式。
教学过程
一、复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用。
二、主体设计
通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）。找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求。”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上。
1、方程思想的运用
（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项。
（2）已知等差数列中，首项，则公差
（3）已知等差数列中，公差，则首项
这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量。
2、基本量方法的'使用
（1）已知等差数列中，求的值。
（2）已知等差数列中，求。
若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题。解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量。
教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）。
如：已知等差数列中，…
由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题
（3）已知等差数列中，求；…。
类似的还有
（4）已知等差数列中，求的值。
以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？
3、研究等差数列的单调性，考察随项数的变化规律。着重考虑的情况。此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果。这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的
4、研究项的符号
这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作。可配备的题目如
（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？
（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数。
三、小结
1、用方程思想认识等差数列通项公式；
2、用函数思想解决等差数列问题。
四。板书设计
等差数列通项公式
1、方程思想的运用
2、基本量方法的使用
等差数列教案9
一、教材分析
1、教学目标：
A．理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；
B．培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C 通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
2、教学重点和难点
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。
二、教法分析
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
三、教学程序
本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。
(一)复习引入：
1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是c）分别是
21，22，23，24，25，
2.某剧场前10排的座位数分别是：
38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。
3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是：
7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。
共同特点：
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。
(二) 新课探究
1、给出等差数列的概念：
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③公差可以是正数、负数，也可以是0。
2、推导等差数列的通项公式
若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定义可得：
- =d 即： = +d
– =d 即： = +d = +2d
– =d 即： = +d = +3d
进而归纳出等差数列的通项公式：
= +(n-1)d
此时指出：
这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：
– =d
– =d
– =d
– =d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d
当n=1时，上面等式两边均为 ，即等式也是成立的，这表明当n∈ 时上面公式都成立，因此它就是等差数列{an }的通项公式。
接着举例说明：若一个等差数列｛ ｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用
（三）应用举例
这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的`理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的 、d、n、 这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式
例2 在等差数列｛an｝中，已知 =10， =31，求首项 与公差d。
在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固
例3 梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。
(四)反馈练习
1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。
2、若数列{ } 是等差数列,若 = ，（为常数）试证明：数列{ }是等差数列
此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。
（五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获）
1.等差数列的概念及数学表达式．
强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式 = +(n-1) d会知三求一
(六) 布置作业
必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题
选做题：已知等差数列{ }的首项 = -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）
四、板书设计
在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。
等差数列教案10
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握等差数列前n项和公式；
2.体会等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式。
二、过程与方法
1． 通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；
2. 通过公式的运用体会方程的思想。
三、情感态度与价值观
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
【教学重点】
等差数列前n项和公式的推导和应用。
【教学难点】
在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。
【重点、难点解决策略】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
【教学用具】
多媒体软件，电脑
【教学过程】
一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:
本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记sn=a1+a2+a3+…+an，
如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。
二、问题牵引，探究发现
问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？
即: S100=1+2+3+······+100=？
著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。
特点： 首项与末项的和： 1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
· · · · · ·
第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，
于是所求的和是： 101×50＝5050。
1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050
同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办呢？
探索与发现1：假如让你计算从第一层到第21层的珠宝数，高斯的首尾配对法行吗？
即计算S21=1+2+3+ ······ +21的值，在这个过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。
把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为21个，共21行。有什么启发？
1+ 2 + 3 + …… +20 +21
21 + 20 + 19 + …… + 2 +1
S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231
这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？
探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？
学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学们自主探究一下（老师演示动画帮助学生）
S8=5+6+7+8+9+10+11+12=
【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出倒序相加法适合任意项数的等差数列求和，最终确立倒序相加的思想和方法！
好，这样我们就找到了一个好方法——倒序相加法！现在来试一试如何求下面这个等差数列的前n项和？
问题2：等差数列1,2,3,…,n, … 的前n项和怎么求呢？
解:（根据前面的学习，请学生自主思考独立完成）
【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，为更一般的等差数列求和打下基础。
至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前n项和公式了。
问题3：对于一般的等差数列{an}首项为a1，公差为d，如何推导它的前n项和sn公式呢？
即求 =a1+a2+a3+……+an=
∴（1）+（2）可得：2
∴
公式变形：将代入可得：
【设计意图】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前n项和公式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。
三、公式的认识与理解：
1、根据前面的推导可知等差数列求和的两个公式为：
（公式一）
（公式二）
探究： 1、（1）相同点： 都需知道a1与n;
（2）不同点： 第一个还需知道an ，第二个还需知道d;
（3）明确若a1,d,n,an中已知三个量就可求Sn。
2、两个公式共涉及a1, d, n, an，Sn五个量，“知三”可“求二”。
2、探索与发现3：等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系？
用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列 n 项和的两个公式.，请学生联想思考总结来有助于记忆。
【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆
四、公式应用、讲练结合
1、练一练：
有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对！
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
解：500
（2）a1=100，d=－2，n=50
解：
【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用，进一步巩固“知三求二”。
下面我们来看两个例题：
2、例题1：
20xx年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的.总目标:从20xx年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算,20xx年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从20xx年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
解:设从20xx年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中 a1=500, d=50
那么，到20xx年（n=10），投入的资金总额为
答: 从20xx年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。
3、例题2：
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解：
法1：由题意知
,
代入公式得：
解得,
法2：由题意知
,
代入公式得：
，
即，
②①得，，故
由得故
【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。
4、反馈达标:
练习一：在等差数列{an}中，a1=20， an=54，sn =999,求n.
解：由解n=27
练习2： 已知{an}为等差数列，,求公差。
解：由公式得
即d=2
【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差这两个基本元）。
五、归纳总结 分享收获：(活跃课堂气氛，鼓励学生大胆发言，培养总结和表达能力)
1、倒序相加法求和的思想及应用；
2、等差数列前n项和公式的推导过程；
3、掌握等差数列的两个求和公式,;
4、前n项和公式的灵活应用及方程的思想。
…………
六、作业布置：
（一）书面作业：
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列,求这10个数的和。
（二）课后思考：
思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
【设计意图】通过布置书面作业巩固所学知识及方法，同时通过布置课后思考题来延伸知识拓展思维。
附：板书设计
等差数列的前n项和
1、数列前n项和的定义：
2、等差数列前n项和公式的推导：
3、公式的认识与理解：
公式一：
公式二：
四：例题及解答：
议练活动：
等差数列教案11
[教学目标]
1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解 等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]
1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的'推导及应用。
2.教学难点：（1）对等差数列中“等差”两字的把握；
（2）等差数列通项公式的推导。
[教学过程]
一.课题引入
创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）
（1）、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗？判断的依据是什么呢？
（2）、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
（3） 1，4，7，10，（ ），16，…
（4） 2，0，-2，-4，-6，（ ）,…
它们共同的规律是？
从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
二、新课探究
（一）等差数列的定义
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
（1）定义中的关健词有哪些？
（2）公差d是哪两个数的差？
2、等差数列定义的数学表达式：
试一试：它们是等差数列吗？
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…
(2) 5，5，5，5，5，5，…
(3) -1，-3，-5，-7，-9,…
(4) 数列{an}，若an+1-an=3
3、等差中顶定义
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）、2 ，( ) ,4 （2）、-12,( ) ，0 ( 3 ) a ,( ),b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。（二）等差数列的通项公式
探究1:等差数列的通项公式(求法一)
如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示？ 呢？
根据等差数列的定义可得：
， ， ，…。
所以： ，
，
，
……
由此得 ，
因此等差数列的通项公式就是: ，
探究2:等差数列的通项公式(求法二)
根据等差数列的定义可得：
……
将以上 -1个式子相加得等差数列的通项公式就是: ，
三、应用与探索
例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
（2）、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得 成立，实质上是要求方程 的正整数解。
例2、在等差数列中,已知 =10, =31，求首项 与公差d.
解：由 ，得 。
在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。
巩固练习
1. 等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1,则a =（ ）。
A. 1 B. -1 C. -2 D. 22.一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。四、小结
1．等差数列的通项公式:
公差 ；
2. 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量；
3. 判断一个数列是否为等差数列只需看 是否为常数即可；
4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.
五、作业：
1、必做题：课本第40页 习题2.2 第1，3，5题
2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3++100=
高斯说：“请同学们预习下一节：等差数列的前N项和。”
等差数列教案12
一、知识与技能
1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;
2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
二、过程与方法
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力；
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性.
三、情感态度与价值观
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.
教学过程
导入新课
师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)
(1)0，5，10，15，20，25，…;
(2)48，53，58，63，…;
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….
请你们来写出上述四个数列的第7项.
生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.
师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.
生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.
师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.
生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.
师：作差是否有顺序，谁与谁相减？
生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.
师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.
这就是我们这节课要研究的内容.
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).
（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.
师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力)
生：从“第二项起”和“同一个常数”.
师：：很好！
师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….
师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.
［合作探究］
等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?
生：a2-a1=d,即a2=a1+d.
师：对，继续说下去!
生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;
……
师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?
生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.
师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?
生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：
因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.
师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.
［教师：精讲］
由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,
即a1=am-(m-1)d.
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,
即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)
由此我们还可以得到.
［例题剖析］
【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?
生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.
生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.
师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).
说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的'项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.
【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
例题分析：
师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?
生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.
师：说得对，请你来求解.
生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,
所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.
师：这里要重点说明的是：
(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….
(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙.
解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.
评述：关键是求出通项公式.
(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.
解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.
所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.
评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.
分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.
解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.
(4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.
解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.
令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.
课堂小结
师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力)
生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).
等差数列教案13
一、等差数列
1、定义
注：“从第二项起”及
“同一常数”用红色粉笔标注
二、等差数列的通项公式
（一）例题与练习
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件； f
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0"6vG
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想： a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+（n—1）d
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1） 当n=1时，（1）也成立， 所以对一切n∈N﹡，上面的'公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。 对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用 同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 是一个实际建模问题 建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点） 设置此题的目的： 1。加强同学们对应用题的综合分析能力， 2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣； 3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法 （四）反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。 3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1。等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题 （六）布置作业 必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题 选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 五、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。 2、教学目标 理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； 3、教学重点和难点 ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。 二、学情分析对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 三、教法分析 本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例（四）归纳小结（五）布置作业，五个教学环节构成。 (一)复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本p41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366 (二)新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 强调： ① ―从第二项起‖满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调―同一个常数‖）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：an+1-an=d(n≥1) 同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。 1.9，8，7，6，5，4，……；√ d=-1 2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01 3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4. 1，2，3，2，3，4，……；× 5. 1，0，1，0，1，……× 其中第一个数列公差<0,>0,第三个数列公差=0 由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0，当d=0，an为常数列。 2、第二个重点部分为等差数列的通项公式 若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得： a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d …… 猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的.通项公式： an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d …… an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1= (n-1) d即an= a1+(n-1) d（第一通项公式） 当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈n＊，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖的教学要求 am与an有什么关系呢？ am=a1+(m-1)d① an=a1+(n-1)d② a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d即：an=am+(n-m)d(第二通项公式) （三）应用举例 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=- 3.又因为n= 20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么? 只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数. 说得对，请你来求解. 当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 这里要重点说明的是： (1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…. (2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第三通项公式. （五）归纳小结 1.等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一 (六)布置作业 必做题：课本p114习题3.2第2，6题 五、板书设计 教学理念：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。 设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 一、教材分析： 教学内容： 高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。 教学地位： 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 教学重点： 理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。 教学难点： 对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 二、学习者分析： 高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 三、教学目标： 知识目标： 理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。 能力目标： 培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。 情感目标： ①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。 ②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 ③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 四、教法和学法的分析： 通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。 五、教学媒体和教学技术的选用 多媒体计算机和几何画板 通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。 六、教学程序： (一)设置问题，引导发现形成概念w。 师：看大屏幕。 情景1(播放奥运会女子举重场面) 2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63 情景2水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m) 18，15.5，13，10.5，8，5.5 情景3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的'公式是： 本利和=本金(1+利率存期) 时间年初本金(元)年末本利和(元)第1年10000 10072第2年10000 10144第3年10000 10216第4年10000 10288第5年10000 10360例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税) 各年末本利和(单位：元) 10072，10144，10216，10288，10360 师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？ 每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。 (学生纷纷议论，有的几个人在一起商量) (从宏观上：情景1让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3倡导节约意识，纳税意识。) 从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？ 学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。 师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？ 学生1：不一样，要加上同一个常数。 学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？ 学生2：不一样，必须从第二项开始。 学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 (教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征： = 1 GB3 ①同一个常数；= 2 GB3 ②从第二项起) 师：能不能用数学语言表示？ 学生4： 师：等价吗？ 学生4：应加上(d是常数)，. (让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性) 师：对式子进行变形可得。 这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？ 学生5：某剧场前8排的座位数分别是 52，50，48，46，44，42，40，38. 学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是 21，21.5，22，22.5，23，23.5，24，24.5，25 学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。 师：如何用数列表示？ 学生8：设相邻两盏之间的距离为a，该数列为 a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。 (让学生举例，加深感性认识) 师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？ 学生(共同)：等差数列。 师：(学生叙述，板书定义) 一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。 提出课题《等差数列》 对定义进行分析，强调：= 1 GB3 ①同一个常数；= 2 GB3 ②从第二项起。注意对概念严谨性的分析。 师：回到表格中，分别说出它们的公差。 学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72. 师：在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金(1+利率存期) 求而按数列的特征求呢？ 学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。 (再提出问题，引导发现求通项公式的必要性) (二)启发、引导推出等差数列的通项公式 师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？ 启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。 学生10：即： 即： 即： 由此可得： 师：从第几项开始归纳的？ 学生10：第二项，所以n≥2。 师：n=1时呢？ 【等差数列教案】相关文章： 等差数列的说课稿12-05 《等差数列》说课稿11-03 等差数列教学设计07-23 《等差数列》说课稿11篇12-29 《等差数列》说课稿12篇12-10 高中数学《等差数列的前n项和》说课稿02-20 教案中班教案09-09 《济南的冬天》教案教案09-13 小学教案体育教案07-15等差数列教案14
等差数列教案15