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等比数列的性质及应用教案设计

时间：2024-08-29 07:38:11 教案我要投稿

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等比数列的性质及应用教案设计

　　作为一名为他人授业解惑的教育工作者，通常需要准备好一份教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编为大家收集的等比数列的性质及应用教案设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

等比数列的性质及应用教案设计

等比数列的性质及应用教案设计1

　　教学内容：

　　人教版小学数学教材六年级下册第107～108页例2及相关练习。

　　教学目标：

　　1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

　　2.让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

　　重点难点：

　　探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

　　教学准备：

　　教学课件。

　　教学过程：

　　一、直接导入，揭示课题

　　同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）

　　【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

　　二、探索发现，学习新知

　　（一）教师与学生比赛算题

　　1.教师：你知道等于多少吗？（学生：）

　　教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。

　　2.只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？

　　在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。

　　3.知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？

　　【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。

　　（二）借助正方形探究计算方法

　　1.这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

　　2.进行演示讲解。

　　（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。

　　想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？那么涂色部分还可以怎么算呢？，也就是说。

　　（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？

　　根据学生回答，板书。

　　（3）演示：那么计算就可以得到？。

　　3.看到这儿，你发现什么规律了吗？

　　4.小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

　　5.这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？

　　6.尝试练习

　　【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

　　（三）知识提升，探索发现

　　1.感受极限。

　　（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？再接着加，一直加到，得数等于？随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？

　　（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）

　　（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的`面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？

　　（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）

　　2.利用线段图直观感受相加之和等于“1”。

　　（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。

　　（2）学生看书思考。

　　（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。

　　【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。

　　3.课堂小结。

　　对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？

　　教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。

　　4.举一反三。

　　其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）

　　【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。

　　三、练习巩固

　　1.基础练习。

　　（1）学生独立计算。

　　（2）全班交流反馈。

　　【设计意图】通过练习，回顾新知，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实。

　　2.小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？

　　解决问题

　　（1）全班读题，学生独立思考。

　　（2）指名回答。

　　（3）根据学生回答情况，连线（课件演示）。

　　（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。

　　【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。

　　四、课堂总结

　　快下课了，请你来说说这节课有什么收获？

　　课后反思：

　　图形的直观形象的特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加结果为1，但是接近 1，但这个无限接近于1的数是多少呢？电子白板呈现出圆形模型和线段模型来表示“1”，使学生结合分数意义，在圆上和线段上分别有规律地表示这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即和为“1”，用画图的方法来表示计算过程和结果，让学生感受到什么叫无限接近，什么叫直观形象，同时，一个极其抽象的极限问题，变得十分直观和便捷。

等比数列的性质及应用教案设计2

　　一、教学目标：

　　1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。

　　2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、

　　概括等逻辑思维能力。

　　3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。

　　二、重点：等比数列的性质及其应用。

　　难点：等比数列的性质应用。

　　三、教学过程。

　　同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。

　　数列名称等差数列等比数列

　　定义一个数列，若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。一个数列，若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。

　　定义表达式 an-an-1=d (n≥2)

　　(q≠0)

　　通项公式证明过程及方法

　　an-an-1=d; an-1-an-2=d，

　　…a2-a1=d

　　an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d

　　an=a1+(n-1)*d

　　累加法 ; …….

　　an=a1q n-1

　　累乘法

　　通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1

　　多媒体投影(总结规律)

　　数列名称等差数列等比数列

　　定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

　　定义

　　表

　　达式 an-an-1=d (n≥2)

　　通项公式证明

　　迭加法迭乘法

　　通项公式

　　加-乘

　　乘—乘方

　　通过观察，同学们发现：

　　等差数列中的减法、加法、乘法，

　　等比数列中升级为除法、乘法、乘方.

　　四、探究活动。

　　探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。

　　练习1 在等差数列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一个公式计算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2

　　等差数列的性质1：在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.

　　猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m

　　性质证明右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边

　　应用在等比数列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8

　　探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。

　　练习2 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180

　　等差数列的性质2：在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的，当m=n时，2 an=ap+aq

　　猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的，当m=n时，an2=ap*aq

　　性质证明右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边证明的方向:一般来说，由繁到简

　　应用在等比数列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36

　　由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6

　　探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的.性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。

　　练习3 在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170

　　等差数列的性质3：若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项，则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k

　　an即时an-k,an,an+k的等差中项

　　猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k

　　an即时an-k,an,an+k的等比中项

　　性质证明右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边证明的方向:由繁到简

　　应用在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.

　　解：a60= = =810

　　应用等比数列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：

　　a30= = = 30

　　A60=

　　探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。

　　练习4 设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35

　　等差数列的性质4：设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列

　　猜想等比数列的性质4 设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。

　　性质证明证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=anbn那么数列{anbn} 的第n项与第n+1项分别为：

　　应用设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____. 解：由题意可知{anbn}是等比数列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。

　　由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63

　　(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动)

　　五、等比数列具有的单调性

　　(1)q<0,等比数列为摆动数列，不具有单调性

　　(2)q>0(举例探讨并填表)

　　a1 a1>0 a1<0

　　q的范围 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1

　　{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减

　　让学生举例说明，并查验有多少学生填对。(真确评价)

　　六、课堂练习：

　　1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( ).

　　A. B.7 C.6 D.

　　解析:由已知得a32=5, a82=10,

　　∴a4a5a6=a53= = =5 .

　　答案:A

　　2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2= .

　　答案:4

　　3、 +1与 -1两数的等比中项是( ).

　　A.1 B.-1 C. D.±1

　　解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D

　　4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ,a2=1,则a1等于( ).

　　A.2 B. C. D.

　　解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .

　　答案:C

　　5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，

　　它们的积等于64，求这三个数。

　　分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.

　　由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数

　　为：根据题意

　　再由方程组可得：q=2 或

　　既这三个数为2，4，8或8，4，2。

　　七、小结

　　本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。

　　八、

　　§3.1.2等比数列的性质及应用

　　性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m

　　性质二：在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at

　　性质三：若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些

　　项构成新的等比数列，且 an2=an-k*an+k

　　性质四：设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比

　　数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列

　　板书设计

　　九、反思

等比数列的性质及应用教案设计3

　　一、提出问题

　　给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。（幻灯片）

　　①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

　　②8，16，32，64，128，256，…

　　③1，1，1，1，1，1，1，…

　　④243，81，27，9，3，1，…

　　⑤31，29，27，25，23，21，19，…

　　⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

　　⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

　　⑧0，0，0，0，0，0，0，…

　　由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）。

　　二、讲解新课

　　请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题。假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列。（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）

　　等比数列（板书）

　　1、等比数列的定义（板书）

　　根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义。学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。教师写出等比数列的定义，标注出重点词语。

　　请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列。学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列。教师追问理由，引出对等比数列的认识：

　　2、对定义的.认识（板书）

　　（1）等比数列的首项不为0；

　　（2）等比数列的每一项都不为0，即；

　　问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？

　　（3）公比不为0.

　　用数学式子表示等比数列的定义。

　　是等比数列①。在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？

　　式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式。

　　3、等比数列的通项公式（板书）

　　问题：用和表示第项。

　　①不完全归纳法

　　。